Metodi Statistici
Sintesi Operativa
Guida sintetica ai concetti fondamentali e metodologie di analisi statistica per il profilo statistico.
- Variabili: Qualitative (nominali, ordinali) e quantitative (discrete, continue)
- Indici di posizione: Media, mediana, moda e relazione con la simmetria
- Indici di variabilita: Varianza, deviazione standard, coefficiente di variazione
- Concentrazione: Quartili, IQR, outlier, Indice di Gini, Curva di Lorenz
- Analisi bivariata: Chi-quadro (qualitative), Pearson (quantitative)
- Campionamento: Metodi probabilistici e non, errori campionari e non campionari
1. Fondamenti e Classificazione delle Variabili
La statistica si suddivide in descrittiva (riassumere i dati) e inferenziale (trarre conclusioni sulla popolazione da un campione).
1.1 Tipi di Variabili e Scale di Misura
| Tipo | Sottotipo | Descrizione | Esempio | Scala |
|---|---|---|---|---|
| Qualitativa | Nominale | Categorie senza ordine | Colore occhi, stato civile | = , ≠ |
| Qualitativa | Ordinale | Categorie con ordine logico | Titolo di studio, giudizi | < , > |
| Quantitativa | Discreta | Valori interi/conteggi | N. figli, N. dipendenti | Rapporti |
| Quantitativa | Continua | Valori reali in un intervallo | Altezza, peso, reddito | Intervalli/Rapporti |
Attenzione: Una variabile ordinale non e quantitativa: sebbene esista un ordine, la distanza tra le categorie non e misurabile matematicamente.
2. Distribuzioni di Frequenza e Rappresentazioni Grafiche
Le frequenze sintetizzano la distribuzione di un carattere:
| Tipo | Simbolo | Descrizione |
|---|---|---|
| Assoluta | ni | Conteggio delle occorrenze |
| Relativa | fi | Proporzione sul totale (0 ≤ fi ≤ 1). La somma e sempre = 1 |
| Cumulata | Fi | Somma delle frequenze fino a una determinata modalita |
Rappresentazioni Grafiche
| Grafico | Uso |
|---|---|
| Istogramma | Variabili quantitative continue raggruppate in classi (barre adiacenti) |
| Diagramma a barre | Variabili qualitative o discrete (barre separate) |
| Box plot | Distribuzione tramite mediana, quartili; identifica outlier |
| Diagramma a dispersione | Relazione tra due variabili quantitative |
3. Indici di Posizione e Tendenza Centrale
| Indice | Definizione | Caratteristiche |
|---|---|---|
| Media aritmetica | Somma dei valori / n | Sensibile agli outlier. Proprieta: ∑(xi - x̄) = 0 |
| Mediana | Valore centrale (divide distribuzione a meta) | Robusta, non influenzata da valori estremi |
| Moda | Modalita con frequenza piu alta | Unico indice applicabile anche a variabili nominali |
Relazione tra Indici e Simmetria
Simmetrica: Media = Mediana = Moda
Asimmetria positiva (coda a destra): Media > Mediana > Moda
Asimmetria negativa (coda a sinistra): Media < Mediana < Moda
4. Indici di Variabilita e Dispersione
| Indice | Formula/Definizione | Note |
|---|---|---|
| Range | Max - Min | Sensibile agli outlier |
| Varianza (σ²) | Media dei quadrati degli scarti dalla media | Unita di misura al quadrato |
| Varianza campionaria (s²) | Si divide per n - 1 | Correzione di Bessel: stimatore non distorto |
| Deviazione standard (σ) | √varianza | Stessa unita di misura dei dati |
| CV | σ / x̄ × 100 | Adimensionale: confronta distribuzioni con scale diverse |
5. Concentrazione, Quartili e Indice di Gini
5.1 Quartili e Outlier
I quartili dividono la distribuzione in quattro parti uguali.
IQR (Range Interquartile): Q3 - Q1. Misura la dispersione del 50% centrale dei dati.
Identificazione Outlier: Valori oltre Q1 - 1,5 × IQR o sopra Q3 + 1,5 × IQR.
5.2 Indice di Gini e Curva di Lorenz
L'Indice di Gini misura la diseguaglianza (es. distribuzione del reddito):
| Valore | Significato |
|---|---|
| G = 0 | Equidistribuzione perfetta |
| G = 1 | Massima concentrazione |
Curva di Lorenz: Rappresenta graficamente la concentrazione. Maggiore e la distanza dalla diagonale di equidistribuzione, maggiore e la concentrazione.
6. Analisi Bivariata: Associazione e Correlazione
6.1 Variabili Qualitative: Test Chi-Quadro (χ²)
Utilizza tabelle di contingenza per confrontare frequenze osservate (O) e attese (E).
Formula: χ² = ∑ (O - E)² / E
χ² = 0 indica perfetta indipendenza. Il test misura l'associazione, non la causazione.
6.2 Variabili Quantitative: Correlazione di Pearson
Il coefficiente r di Pearson misura intensita e direzione della relazione lineare.
| Valore r | Significato |
|---|---|
| r = +1 | Correlazione positiva perfetta |
| r = -1 | Correlazione negativa perfetta |
| r = 0 | Assenza di relazione lineare (ma potrebbe esistere relazione non lineare) |
7. Metodologie di Campionamento
7.1 Metodi Probabilistici
| Metodo | Descrizione |
|---|---|
| Casuale semplice | Ogni unita ha la stessa probabilita di estrazione |
| Stratificato | Popolazione divisa in strati omogenei internamente; si campiona da ogni strato |
| A grappolo (Cluster) | Popolazione divisa in gruppi eterogenei internamente; si estraggono interi gruppi |
| Sistematico | Selezione di un'unita ogni passo k |
Stratificato vs Grappolo: Nello stratificato gli strati sono omogenei al loro interno (si campiona da tutti). Nel cluster i gruppi sono eterogenei al loro interno (se ne estraggono solo alcuni).
7.2 Errori di Campionamento
| Tipo | Causa | Rimedio |
|---|---|---|
| Errore campionario | Differenza tra stima e valore reale | Diminuisce con l'aumentare di n |
| Errore non campionario | Errori sistematici (mancate risposte, misurazioni errate) | Non diminuisce con n. Richiede migliore progettazione |
8. Numeri Indice
I numeri indice misurano la variazione di un fenomeno nel tempo.
| Indice | Pesi | Caratteristica |
|---|---|---|
| Laspeyres | Anno base | Tende a sovrastimare l'inflazione |
| Paasche | Anno corrente | Tende a sottostimare l'inflazione |
| Fisher | Media geometrica Laspeyres-Paasche | Indice ideale, bilancia i due approcci |