Econometria
Sintesi Operativa
L'econometria integra teoria economica, statistica matematica e dati reali per stimare relazioni, verificare teorie e produrre previsioni.
- OLS (Minimi Quadrati Ordinari): Stimatore fondamentale della regressione lineare multipla
- Gauss-Markov: Se le 5 ipotesi sono rispettate, OLS e BLUE (Best Linear Unbiased Estimator)
- Violazioni: Eteroschedasticita (White, WLS), autocorrelazione (Durbin-Watson), multicollinearita (VIF > 10)
- Selezione modello: R² aggiustato, AIC, BIC (valori piu bassi = migliore)
- Modelli avanzati: Variabili dummy, strumentali (2SLS), Logit/Probit, serie storiche
1. Il Processo Econometrico e il Modello di Regressione
L'analisi econometrica segue cinque fasi sequenziali:
- Specificazione del modello (relazione economica)
- Stima dei parametri (OLS o altri stimatori)
- Verifica diagnostica (ipotesi del modello)
- Inferenza (test di ipotesi sui parametri)
- Previsione (stime future)
1.1 Regressione Lineare Multipla (OLS)
Modello: Y = β0 + β1X1 + ... + βkXk + ε
Stimatore OLS: β̂ = (X'X)-1X'Y — minimizza la somma dei quadrati dei residui (RSS = ∑ei²)
Interpretazione dei Coefficienti
| Coefficiente | Significato |
|---|---|
| β0 (intercetta) | Valore atteso di Y quando tutti i regressori sono nulli |
| βj | Variazione attesa di Y per incremento unitario di Xj, ceteris paribus |
2. Ipotesi di Gauss-Markov e Teorema BLUE
Il teorema di Gauss-Markov stabilisce che l'OLS e lo stimatore piu efficiente (varianza minima) nella classe degli stimatori lineari e non distorti, se rispettate 5 ipotesi:
| Codice | Ipotesi | Significato |
|---|---|---|
| GM1 | Linearita | Y e funzione lineare dei parametri β |
| GM2 | Esogeneita | E(ε|X) = 0 (errori a media zero condizionata) |
| GM3 | Omoschedasticita | Var(ε|X) = σ² costante |
| GM4 | No autocorrelazione | Cov(εi, εj) = 0 per i ≠ j |
| GM5 | No multicollinearita | Colonne di X linearmente indipendenti |
BLUE: Best Linear Unbiased Estimator. Con ipotesi di normalita (ε ~ N) aggiunta, OLS e anche efficiente.
Se violate: OLS perde la proprieta BLUE. Es. con eteroschedasticita, rimane non distorto ma non e piu efficiente.
3. Violazioni delle Ipotesi e Diagnostica
3.1 Multicollinearita
I regressori sono fortemente correlati tra loro → stime imprecise.
Diagnosi: VIF (Variance Inflation Factor)
Formula: VIFj = 1 / (1 - R²j)
VIF > 10 = multicollinearita grave
3.2 Eteroschedasticita
La varianza degli errori non e costante: Var(εi|X) = σi²
| Diagnosi | Rimedi |
|---|---|
| Test di White, Test di Breusch-Pagan, grafico residui | Errori standard robusti (White/Huber), WLS, GLS |
3.3 Autocorrelazione
Comune nelle serie storiche: errori correlati tra loro.
Test di Durbin-Watson (DW):
DW ≈ 2 → Assenza di autocorrelazione
DW ≈ 0 → Forte autocorrelazione positiva
DW ≈ 4 → Forte autocorrelazione negativa
Limitazione: non valido con variabili dipendenti ritardate tra i regressori.
4. Selezione e Significativita del Modello
4.1 R² e R² Aggiustato
L'R² aumenta sempre con nuove variabili, anche irrilevanti. L'R² aggiustato penalizza l'aggiunta di variabili non significative → usare per confrontare modelli con diverso numero di regressori.
4.2 Criteri di Informazione
Valori piu bassi = migliore performance:
AIC (Akaike): -2ln(L) + 2k
BIC (Bayesiano): -2ln(L) + k·ln(n)
Il BIC e piu severo e seleziona modelli piu parsimoniosi.
4.3 Test di Ipotesi
| Test | Verifica | Ipotesi Nulla |
|---|---|---|
| Test t | Significativita singolo coefficiente | H0: βj = 0 |
| Test F globale | Almeno una variabile significativa | H0: β1 = β2 = ... = βk = 0 |
Confronto tra test: Wald (modello non vincolato) ≥ LR (confronto verosimiglianze) ≥ LM (modello vincolato). Relazione asintotica: Wald ≥ LR ≥ LM
5. Variabili Dummy e Modelli Avanzati
5.1 Variabili Dummy (Indicatrici)
Codificano informazioni qualitative. Per k categorie, includere k - 1 dummy per evitare la trappola delle dummy (multicollinearita perfetta con l'intercetta).
5.2 Endogeneita e Variabili Strumentali (IV)
Un regressore e endogeno se Cov(X, ε) ≠ 0 → OLS distorto.
Rimedio: Variabili strumentali (Z)
Devono essere: rilevanti (correlate con X) ed esogene (non correlate con ε).
Metodo: 2SLS (Two-Stage Least Squares)
5.3 Modelli Logit e Probit
Per variabile dipendente binaria (0/1):
| Modello | Funzione | Stima |
|---|---|---|
| Logit | Funzione logistica | Massima Verosimiglianza (ML), non OLS |
| Probit | Distribuzione cumulata normale standard |
5.4 Serie Storiche
Stazionarieta: Media e varianza costanti nel tempo. Verifica con test ADF (Augmented Dickey-Fuller).
Regressione spuria: Regressione tra serie non stazionarie → risultati significativi ma privi di nesso causale reale.
6. Riepilogo Valori Critici per la Diagnostica
| Parametro | Valore di Riferimento | Interpretazione |
|---|---|---|
| VIF | > 10 | Multicollinearita grave |
| Durbin-Watson | ≈ 2 | Assenza di autocorrelazione |
| Durbin-Watson | < 2 | Tendenza autocorrelazione positiva |
| Durbin-Watson | > 2 | Tendenza autocorrelazione negativa |
| R² aggiustato | Piu alto = migliore | Bonta di adattamento penalizzata |
| AIC / BIC | Piu basso = migliore | Selezione modello parsimonioso |
| p-value (test t/F) | < 0,05 | Coefficiente/modello significativo |