Matematica Finanziaria e Finanza Aziendale
Report di matematica finanziaria e finanza aziendale per i concorsi economico-finanziari (MEF 548 codici ECON/ECON-FIN, EP-INDU; INPS). Valore temporale del denaro, regimi di capitalizzazione, rendite, ammortamenti, VAN/TIR, TAN/TAEG; e corporate finance: rischio-rendimento (CAPM), costo del capitale (WACC), struttura finanziaria (Modigliani-Miller), valutazione d'azienda (DCF). Fonte: brain economia-finanza-pubblica (Bacinello, Damodaran).
1 IL VALORE TEMPORALE DEL DENARO
La matematica finanziaria studia come il valore del denaro cambia nel tempo: un capitale C oggi vale di più dello stesso importo domani. Le operazioni si rappresentano come vettori di flussi di cassa con relativo scadenzario.
Regimi di capitalizzazione
| Regime | Montante di C in t |
|---|---|
| Interesse semplice | C(1 + i·t) |
| Interesse composto | C(1 + i)ᵗ |
| Sconto (attualizzazione) | valore attuale = montante × fattore di sconto |
La scindibilità (concetto-spartiacque)
Solo la capitalizzazione composta (1+i)ᵗ è scindibile (scindibilità di Cantelli): capitalizzare in un'unica soluzione o per sotto-periodi dà lo stesso risultato. Da qui la coerenza delle valutazioni pluriperiodali. Tassi equivalenti: tassi su periodi diversi che producono lo stesso montante.
2 RENDITE, AMMORTAMENTI, TAN/TAEG
Rendite e perpetuità
- Rendita: successione di flussi a scadenze periodiche (posticipata/anticipata/differita). Si calcolano valore attuale e montante.
- Perpetuità: rendita illimitata; valore attuale = R/i (rendita costante); modello di Gordon per perpetuità crescente: R/(i−g).
Ammortamento dei mutui
- Ammortamento francese (a rata costante): la quota interessi decresce, la quota capitale cresce (progressione geometrica). È il più diffuso.
- Ammortamento italiano: quota capitale costante, rata decrescente.
- Controversia anatocismo: la scindibilità del regime composto difende il francese dall'accusa di interesse composto occulto.
TAN, TAEG, usura
- TAN: tasso annuo nominale (solo interessi). TAEG: tasso annuo effettivo globale (include spese/oneri) → indicatore del costo reale.
- TEGM e soglia d'usura; art. 1815 c.c. (interessi usurari → non dovuti).
3 VAN E TIR — SCELTE DI INVESTIMENTO
I criteri per valutare un investimento (capital budgeting) attualizzano i flussi di cassa futuri.
VAN (Valore Attuale Netto / NPV)
- Somma dei flussi di cassa attualizzati al costo del capitale, meno l'esborso iniziale.
- Regola: si accetta l'investimento se VAN > 0 (crea valore). È il criterio principe.
TIR (Tasso Interno di Rendimento / IRR)
- Il tasso che annulla il VAN. Regola: si accetta se TIR > costo del capitale.
- Limiti: possibili TIR multipli (regola dei segni di Cartesio / teorema di Norstrøm) e conflitti col VAN su progetti alternativi → in caso di conflitto prevale il VAN.
Criteri secondari: Payback period (tempo di recupero, ignora il valore del denaro nel tempo nella versione semplice) e Indice di Profittabilità (PI).
4 FINANZA AZIENDALE: LE TRE DECISIONI
La finanza aziendale (corporate finance) studia tre decisioni per massimizzare il valore per gli azionisti, introducendo il rischio (il tasso di sconto non è dato, si stima).
| Decisione | Domanda |
|---|---|
| Investimento | dove investire? (capital budgeting, VAN) |
| Finanziamento | come finanziarsi? (debito vs equity) |
| Dividendi | quanto distribuire? (payout) |
Rischio-rendimento: CAPM
La diversificazione elimina il rischio specifico; resta il rischio sistematico, misurato dal beta (β). Il CAPM dà il costo dell'equity: rₑ = r_f + β·(r_m − r_f) (tasso risk-free + premio per il rischio).
Costo del capitale: WACC
Il WACC è la media ponderata del costo di equity e debito (al netto dello scudo fiscale): è il tasso con cui si attualizzano i flussi aziendali.
5 STRUTTURA FINANZIARIA E VALUTAZIONE D'AZIENDA
Teorema di Modigliani-Miller (MM)
- MM senza imposte: in mercati perfetti il valore dell'impresa è indipendente dalla struttura finanziaria (debito/equity irrilevante).
- MM con imposte: il debito crea valore grazie allo scudo fiscale (gli interessi sono deducibili) → conviene indebitarsi.
- Trade-off theory: il vantaggio fiscale del debito è bilanciato dai costi di dissesto (fallimento) → esiste una struttura ottimale.
Valutazione d'azienda
- DCF (Discounted Cash Flow): valore = flussi di cassa attesi attualizzati + terminal value (modello di Gordon). Si distingue FCFF (free cash flow to firm) e FCFE (to equity).
- Valutazione relativa (multipli): P/E, EV/EBITDA, ecc. — confronto con aziende comparabili.
6 FORMULE E FATTI CHIAVE
| Concetto | Formula / fatto |
|---|---|
| Interesse composto | C(1+i)ᵗ — unico regime scindibile |
| Perpetuità costante | R / i |
| Gordon (perpetuità crescente) | R / (i − g) |
| Ammortamento francese | rata costante (quota capitale crescente) |
| TAEG vs TAN | TAEG include spese/oneri |
| Regola VAN | accetta se VAN > 0 |
| TIR | tasso che annulla il VAN |
| Conflitto VAN/TIR | prevale il VAN |
| CAPM | rₑ = r_f + β(r_m − r_f) |
| WACC | media ponderata equity/debito |
| MM con imposte | il debito crea valore (scudo fiscale) |
7 I TRABOCCHETTI PIÙ INSIDIOSI
| Tema | Risposta sbagliata | Risposta corretta |
|---|---|---|
| Regime scindibile | interesse semplice | interesse composto |
| TAN vs TAEG | uguali | il TAEG include spese e oneri |
| Conflitto VAN/TIR | prevale il TIR | prevale il VAN |
| TIR | sempre unico | può essere multiplo (regola dei segni) |
| Ammortamento francese | quota capitale costante | rata costante (quota capitale crescente) |
| Beta misura | il rischio specifico | il rischio sistematico (non diversificabile) |
| Modigliani-Miller senza imposte | il debito aumenta il valore | struttura finanziaria irrilevante |
| Scudo fiscale | riguarda i dividendi | gli interessi sul debito (deducibili) |
Fonti: Bacinello (Trieste) e dispense universitarie per la matfin; Damodaran (NYU Stern) per la corporate finance; brain economia-finanza-pubblica. Report compilato per RIPAM Studio — Giugno 2026 / RIPAM Studio | @fcapurso