Econometria

L'econometria applica i metodi statistici alla stima quantitativa di relazioni economiche e alla verifica empirica delle teorie. Parte dalla regressione lineare (OLS) e studia cosa succede quando le ipotesi classiche cadono.

Il punto di partenza: OLS e Gauss-Markov

I minimi quadrati ordinari (OLS) minimizzano la somma dei quadrati dei residui. Sotto le ipotesi classiche (linearità, esogeneità, disturbi sferici), il teorema di Gauss-Markov garantisce che OLS è lo stimatore lineare corretto a varianza minima (BLUE).

Il programma econometrico: rilasciare le ipotesi

Ipotesi che cade	Conseguenza	Risposta
Normalità / piccolo campione	t/F non esatti	asintotica (LLN+CLT+Slutsky)
Disturbi sferici Var(e|X)=σ²I	varianza OLS errata	errori robusti White / Newey-West
Esogeneità E[e|X]=0	OLS inconsistente	variabili strumentali / 2SLS
Osservazioni indipendenti	correlazione individuo/tempo	dati panel (FE/RE)
Indipendenza temporale	dipendenza seriale	serie storiche (ARMA/VAR)
Risposta continua	Y binaria/limitata	logit / probit

Perché l'asintotica

Senza normalità degli errori, i test t e F non sono esatti in piccoli campioni. Per n grande si ricorre all'asintotica: legge dei grandi numeri (consistenza), teorema del limite centrale e teorema di Slutsky danno t e F asintotici e i test di Wald, LR, LM.

Eteroschedasticità e autocorrelazione

Se i disturbi non sono sferici (varianza non costante = eteroschedasticità; correlazione tra disturbi = autocorrelazione), OLS resta non distorto e consistente, ma la varianza classica σ²(X'X)⁻¹ è sbagliata (di solito SE sottostimati → falsa significatività).

Strategia	Strumento
Errori robusti a eteroschedasticità	White (1980) — HCCME (default applicato)
Robusti a etero + autocorrelazione	Newey-West (HAC) — standard nelle serie storiche
Efficienza (se Ω è nota)	GLS / FGLS

La prassi moderna: OLS + errori robusti — un po' meno efficienza in cambio di robustezza, senza dover specificare Ω.

L'ipotesi cardine per l'interpretazione causale dell'OLS è l'esogeneità: E[xe]=0. Quando il regressore è correlato con l'errore (endogeneità), OLS è inconsistente (plim β̂ ≠ β).

Le tre cause di endogeneità

1. Variabile omessa (OVB): una variabile rilevante correlata col regressore è esclusa → bias.
2. Errore di misura sul regressore → attenuazione (coefficiente schiacciato verso zero).
3. Simultaneità: X e Y si determinano a vicenda (domanda/offerta).

Variabili strumentali (IV)

Uno strumento Z valido ha due proprietà:

• Rilevanza: Cov(Z,X) ≠ 0 (spiega la parte esogena di X);
• Esogeneità/esclusione: Cov(Z,e) = 0 (influenza Y solo tramite X).

2SLS e strumenti deboli

• 2SLS (due stadi): 1° regredisci X su Z (X̂); 2° regredisci Y su X̂. Usato quando gli strumenti sono più delle endogene (sovraidentificazione). È un caso del GMM con condizioni E[Z·e]=0.
• Strumenti deboli (Cov(Z,X) piccola): 2SLS torna distorto verso OLS e l'inferenza fallisce. Regola pratica: F del 1° stadio > 10. Sovraidentificazione testata col J-test di Hansen.

I dati panel (longitudinali) seguono le stesse N unità per T periodi: yᵢₜ = αᵢ + xᵢₜ'β + uᵢₜ, dove αᵢ è l'effetto individuale (eterogeneità non osservata). Il vantaggio: controllare αᵢ anche se non osservato — impossibile in cross-section.

Stimatore	Quando	Proprietà
Effetti fissi (FE)	αᵢ correlato con x (caso tipico)	elimina αᵢ (within/demeaning); consistente; non stima variabili costanti nel tempo
Effetti casuali (RE)	αᵢ incorrelato con x	FGLS; più efficiente; inconsistente se l'incorrelazione è violata

Test di Hausman

Sceglie tra FE e RE: sotto H₀ (αᵢ incorrelato) entrambi consistenti ma RE efficiente; rifiuto di H₀ ⟹ usare FE (RE distorto).

Panel dinamici

Con la dipendente ritardata yᵢₜ₋₁ tra i regressori, il demeaning FE introduce il bias di Nickell (O(1/T), grave per T piccolo). Soluzione: Arellano-Bond (GMM) — differenzia ed usa i livelli ritardati come strumenti.

Le serie storiche (PIL, inflazione, tassi) hanno osservazioni dipendenti nel tempo: è lo strumento della macroeconometria e della previsione.

Stazionarietà e ARMA

• Un processo è covarianza-stazionario se media e varianza sono costanti e l'autocovarianza dipende solo dal lag. È la condizione che rende possibile l'inferenza.
• ARMA(p,q): componente autoregressiva (AR) + media mobile (MA). Decomposizione di Wold: ogni processo stazionario è un MA(∞).

Radici unitarie e cointegrazione

• Molte serie sono I(1) (non stazionarie in livello, stazionarie in differenza prima). Test ADF (Augmented Dickey-Fuller) per la radice unitaria — usa valori critici non standard (non normali). Rimedio: differenziare.
• Cointegrazione: due serie I(1) cointegrate se una loro combinazione lineare è I(0) → relazione di equilibrio di lungo periodo → modelli a correzione d'errore (ECM).

VAR

Il Vector Autoregression tratta più serie congiuntamente; strumenti: funzioni di risposta d'impulso, decomposizione della varianza. L'identificazione strutturale (SVAR) è il cuore dell'analisi degli shock macroeconomici e dei moltiplicatori.

Tema	Risposta sbagliata	Risposta corretta
OLS con eteroschedasticità	distorto/inconsistente	resta corretto e consistente; è la varianza a essere sbagliata
OLS con endogeneità	solo varianza errata	inconsistente (serve IV)
Strumento valido	basta sia correlato con X	rilevante e esogeno (Cov(Z,e)=0)
Errore di misura	gonfia il coefficiente	lo attenua verso zero
Effetti fissi vs casuali	RE sempre meglio	se αᵢ correlato con X serve FE (Hausman)
RE	consistente sempre	inconsistente se αᵢ correlato con X
Test ADF	usa valori critici normali	usa valori critici non standard (Dickey-Fuller)
Serie I(1) in regressione	si stimano in livello	rischio regressione spuria; differenziare o cointegrazione
Newey-West	corregge solo l'eteroschedasticità	etero + autocorrelazione (HAC)

Fonti: B. Hansen, Econometrics (Wisconsin); MIT 14.381 (Mikusheva); brain economia-finanza-pubblica (blocco metodi quantitativi / econometria). Report compilato per RIPAM Studio — Giugno 2026 / RIPAM Studio | @fcapurso